егэ 2024, шкала баллов егэ, огэ 2024, сочинение по русскому, итоговое сочинение.
Формулы объемов и площадей геометрических фигур
| Формулы стереометрии для егэ профиль - фото сборник | Формулы ЕГЭ профильная математика по заданиям в 2021: какие формулы необходимы для сдачи ЕГЭ по профильной математике? Полный список с пояснениями. |
| Формулы по стереометрии для ЕГЭ | : Все необходимые формулы и помощь в решении задач ЕГЭ 2024 по математике профильный уровень. |
| Все формулы по стереометрии для егэ таблица профиль | Собрали в удобном мини-формате все формулы, которые пригодятся при подготовке к ЕГЭ. |
| Все формулы стереометрии для егэ | егэ 2024, шкала баллов егэ, огэ 2024, сочинение по русскому, итоговое сочинение. |
Формулы стереометрии для егэ профиль 2023
Задавай их в комментариях! Таймкоды: 0:00 - 3 задание ЕГЭ. Теория о правильном шестиугольнике.
Как подготовиться к экзамену, мы рассказали в этой статье. А здесь собрали самые важные формулы для ЕГЭ по математике профиль , чтобы готовиться к экзамену было легче. Алгебра Этот раздел охватывает множество тем, от самых простых, которые мы изучали еще в самом начале до сложных понятий математического анализа и теории вероятности. Итак, важно изучить формулы, связанные со свойствами степеней и корней, модулем числа, принципы решения уравнений и неравенств, свойства логарифмов и логарифмические уравнения и неравенства, формулы сокращенного умножения. Также пригодится теорема Виета, таблица производных и правила дифференцирования. А еще нужно знать формулы, которые помогут разобраться с вероятностями событий. Все эти формулы, которые пригодятся тебе на экзамене, преподаватели «Сотки» собрали в «Шпаргалке по алгебре».
Разбор задания 3. Умение оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость, величина угла, плоский угол, двугранный угол, угол между прямыми и др. Профиматика - Владислав Вуль 06. Профиматика - Владислав Вуль 30. Можно ли заботать всю стереометрию за 4 часа? Профиматика - Игорь Уколов, Владислав Вуль 17.
Осевое сечение шара это круг, радиус которого равен радиусу шара. Осевым сечением является самый большой круг шара. Тетраэдр Радиус описанной сферы тетраэдра. Радиус вписанной в тетраэдр сферы. В тетраэдр можно вписать сферу, радиус вписанной сферы находим по формуле, приведенной ниже. Найти объем каждого параллелепипеда. Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.
Справочник с основными фактами стереометрии
Стереометрия формулы ЕГЭ тела вращения. Главная» Новости» Формулы для 3 задания егэ математика профиль 2024. Вся теория и формулы для 13 задания ЕГЭ Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда. Основные формулы планиметрии для ЕГЭ. Формулы профильной математики ЕГЭ.
ВСЕ формулы по математике для ЕГЭ
Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция. Сфера, шар Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Осевое сечение шара это круг, радиус которого равен радиусу шара. Осевым сечением является самый большой круг шара. Тетраэдр Радиус описанной сферы тетраэдра. Радиус вписанной в тетраэдр сферы. В тетраэдр можно вписать сферу, радиус вписанной сферы находим по формуле, приведенной ниже.
На экзамене профильного уровня, в отличие от базового, не выдаются справочные материалы — выпускникам не предоставляются формулы, необходимые для решения задач. Исключение составляют лишь 5 формул по тригонометрии, но, естественно, они не помогут набрать максимальные баллы, если экзаменуемые не будут знать об остальных важных сведениях и математических свойствах.
Учите формулы по математике и сдавайте ЕГЭ на максимальные баллы! Группы разного уровня подготовки Группы для обучения подбираются согласно текущему уровню подготовки к ЕГЭ Вашего ребенка Это позволяет сделать обучение максимально эффективным для каждого Полный контроль за процессом обучения Вам предоставляется доступ в облачный личный кабинет с полной информацией о посещаемости и успеваемости ученика,а также домашними заданиями и тестами Уникальный преподавательский коллектив К работе с Вашими детьми допускаются только опытные и харизматичные профессиональные репетиторы и преподаватели ВУЗов, способные зажечь искру любви к предмету Авторские методики обучения и мотивации Система тестов, уникальная аттестация, целеполагание и тьюторская поддержка учеников позволяют увеличить эффективность обучения и мотивировать Вашего ребенка на успех Остались вопросы?
Задавай их в комментариях! Таймкоды: 0:00 - 3 задание ЕГЭ. Теория о правильном шестиугольнике.
Формулы по стереометрии для ЕГЭ
Все формулы по физике и математике. Стереометрия 11 класс формулы ЕГЭ. Формулы для стереометрии ЕГЭ математика профиль. Формулы и методы для задачи №13 (стереометрия). Стереометрия формулы ЕГЭ тела вращения. Работа по теме: 8. Основные формулы стереометрии — подборка шпаргалок по математике.
Формулы стереометрии для егэ профиль - фото сборник
Курс ПРОФИЛЬ 2022 от Абеля / Математика ЕГЭ. Стереометрия ЕГЭ формулы объемов и площадей. Формулы нахождения площадей поверхностей и объемов фигур: таблица. 2: Все Формулы Стереометрии Для Задания № 2, Профильная Математика Егэ 2023, Умскул.
№ 14 Стереометрия
Формулы по геометрии для ЕГЭ. Формулы объемов многогранников и тел вращения. Формулы площадей и объемов всех фигур. Все формулы объемов и площадей фигур. Формулы площади и объёма геометрических фигур. Объёмы фигур формулы ЕГЭ математика. Шпаргалка ЕГЭ формулы площадей и объемов стереометрических фигур. Площади геометрических фигур формулы таблица. Формулы нахождения площадей плоских фигур. Формулы площадей плоских фигур по геометрии.
Формулы площадей всех геометрических фигур в таблице. Формулы площадей и объемов фигур. Формулы площадей и объемов геометрических фигур таблица. Формулы объема и площади геометрических фигур для ЕГЭ. Формулы объемов Призмы и пирамиды. Стереометрия Призма формулы. Формулы площадей поверхности многогранников Призма. Площадь поверхности и объем многогранника. Формулы площадей геометрических фигур стереометрия.
Формулы геометрия 11 класс. Формулы геометрия 11 класс ЕГЭ. Формулы объёма геометрических фигур таблица. Формулы объёмов всех фигур. Объемы фигур формулы таблица шпаргалка 11 класс. Таблица площадей и объемов многогранников и тел вращения. Формулы тел вращения геометрия 11 класс. Стереометрия тела вращения формулы. Формулы по стереометрии Призма.
Основные формулы геометрия 11 класс. Шпаргалка по стереометрии ЕГЭ. Формулы по стереометрии таблица. Стереометрия шпаргалка. Формулы нахождения площади и объема геометрических фигур. Геометрия формулы площадей и объемов. Формулы площадей объемных фигур таблица. Площади и объемы тел формулы. Стереометрия профильная математика.
Стереометрия ЕГЭ профиль. Задачи стереометрия ЕГЭ. Формулы для профильной математике ЕГЭ. Формулы по математике для ЕГЭ. Важные формулы для ЕГЭ по математике профильного. Формулы для ЕГЭ по математике профиль. Стереометрия формулы ЕГЭ тела вращения. Площадь боковой поверхности сферы. Площадь боковой поверхности сферы и шара.
Площадь боковой и полной поверхности сферы.
На экзамене профильного уровня, в отличие от базового, не выдаются справочные материалы — выпускникам не предоставляются формулы, необходимые для решения задач. Исключение составляют лишь 5 формул по тригонометрии, но, естественно, они не помогут набрать максимальные баллы, если экзаменуемые не будут знать об остальных важных сведениях и математических свойствах.
Для начала нужно выразить квадрат синуса и квадрат косинуса из ОТТ Шаг 1 : Тригонометрия: теория для ЕГЭ — как еще найти косинус двойного угла Шаг 1 А потом нужно подставить эти значения в формулу 6, или третья формула справочного материала Шаг 2 : Тригонометрия: теория для ЕГЭ — как еще найти косинус двойного угла Шаг 2 Вот мы вывели ещё 2 формулы! А сейчас я покажу вам как практически ничего не делая получить ещё 2. Мы будем выводить формулы понижения степени из формул двойного угла. Сейчас вообще ничего удивительного не будет.
Что еще пригодится вам для тригонометрии на ЕГЭ Скажу по секрету, что это далеко не все формулы тригонометрии, которые существуют. Есть и другие: некоторые можно вывести из вышеуказанных, некоторые можно обобщить и вместо огромного количества формул использовать короткое правило. Но мне кажется, что пока этого и так много! Советую сначала хорошо отработать формулы, которые я перечислила в этой статье, и только потом браться за другие. Так вы не загрузите свою память и будете быстрее решать сложные задания по тригонометрии из ЕГЭ.
Формулы площадей стереометрических фигур. Формулы для задач по стереометрии ЕГЭ. Формулы объёма геометрических фигур таблица. Все формулы объемов и площадей фигур для ЕГЭ. Формулы площадей фигур для ЕГЭ. Площади поверхности фигур формулы ЕГЭ. Формулы объемов геометрических фигур таблица ЕГЭ. Формулы площадей для ЕГЭ профильная математика. Формулы площади и объёма геометрических фигур. Формулы площадей фигур стереометрия. Формулы площадей всех фигур для ЕГЭ. Стенд для кабинета математики планиметрия. Формулы планиметрии для ЕГЭ профиль 1 часть. Формулы планиметрия для ЕГЭ математика профильный. Формулы для планиметрии ЕГЭ математика профиль. Формулы ЕГЭ математика стереометрия. Стереометрия формулы площадей и объемов. Формулы площадей фигур планиметрия. Формулы планиметрии для ЕГЭ. Площади фигур ЕГЭ математика профиль планиметрия. Формулы объёмов фигур 11 класс. Формулы тел вращения геометрия 11 класс. Формулы объемов тел вращения 11 класс. Площади фигур формулы стереометрия 11 класс. Формулы ЕГЭ математика профильный уровень геометрия. Основные формулы для профильной математики ЕГЭ. Формулы шпоры по математике ЕГЭ 2022. Формулы ЕГЭ математика профильный уровень Алгебра. Справочные материалы ЕГЭ математика профиль 2021. Справочный материал ЕГЭ математика 2022. Базовая математика ЕГЭ 2022. Справочные материалы ЕГЭ математика 2022. Геометрические формулы для ЕГЭ база. Геометрические формулы для ЕГЭ база математика. Теоремы планиметрии 10 класс. Основные формулы планиметрии для ЕГЭ. Шпаргалки по геометрии для подготовки к ОГЭ. Геометрические задания ЕГЭ профиль математика. Теоремы по геометрии для ОГЭ 2023. Геометрия на готовых чертежах 7-9 классы теорема Пифагора. Шпоры на ОГЭ по математике 2022. Формулы для ОГЭ по математике 2022. Шпаргалки по алгебре 9 класс ОГЭ. Шпаргалки ОГЭ математика 9 класс. Формулы для ЕГЭ профильная математика геометрия. Шпоры для ЕГЭ по математике 2021 профильный уровень геометрия. Формулы геометрии и стереометрии шпаргалка. Формулы по стереометрии профильная математика. Объёмы фигур формулы ЕГЭ шпаргалка. Формулы для ЕГЭ по математике профиль планиметрия. Основные теоремы планиметрии для ЕГЭ. Основные формулы планиметрии для ЕГЭ профиль. Планиметрия теория для ЕГЭ формулы. Шпаргалка по планиметрии на ЕГЭ. Планиметрия шпаргалки для ЕГЭ. Геометрия - теоремы планиметрии. Вся теория по геометрии планиметрия таблица. Формулы планиметрии таблица. Шпаргалки для ОГЭ по математике 2022. Шпоры ОГЭ математика 2021. Формулы по алгебре для ОГЭ 9 класс шпаргалка. Шпоры для экзамена по математике 9 класс 2021. Шпаргалка по геометрии для ОГЭ 9 класс шпаргалка. Шпаргалки по стереометрии 11 класс для ЕГЭ. Формулы математика профиль ЕГЭ геометрия. Объем формулы ЕГЭ математика. Формулы на профильной математике ЕГЭ.
Стереометрия: формулы и методы
Мой канал в Telegram: +nv_AT3GKIq0zNTBiХочешь готовиться к ЕГЭ со мной? Собрали в удобном мини-формате все формулы, которые пригодятся при подготовке к ЕГЭ. № 3 Стереометрия Стереометрия формулы ЕГЭ тела вращения.
Вся стереометрия для егэ 2022 профиль
| Все формулы для стереометрии для профиля - 85 фото | : Все необходимые формулы и помощь в решении задач ЕГЭ 2024 по математике профильный уровень. |
| Формулы справочника для ЕГЭ | Самые актуальные шпаргалки по стереометрии на сайте. |
| Подборка основных геометрических формул для и егэ по математике | Формулы объема стереометрия. Стереометрия ЕГЭ профиль. Стереометрия 11 класс таблица. |
| Формулы по стереометрии для ЕГЭ | Стереометрия формулы ЕГЭ тела вращения. |
№ 14 Стереометрия
Ответы к заданиям записываются по приведённым ниже образцам в виде числа или последовательности цифр. Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой или капиллярной ручки. При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при оценивании работы.
Здесь представлено пособие по подготовке к ЕГЭ по математике, которое фактически является авторским. Оно разработано в соответствии с программой школьного курса и включает такие разделы, как арифметика, алгебра, начала анализа и геометрия планиметрия и стереометрия. Каждое теоретическое положение, содержащееся в пособии по подготовке к ЕГЭ по математике, сопровождается методически подобранными задачами с подробными разъяснениями. Таким образом, вы не только приобретете определенные знания. Полный справочник для ЕГЭ по математике поможет вам научиться логически и нестандартно мыслить, выполнять самые разнообразные задачи и грамотно объяснять свои решения. А это уже половина успеха при сдаче единого государственного экзамена. После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике. Для этого достаточно выбрать задачу по данной теме и решить ее. Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т.
Умение оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость, величина угла, плоский угол, двугранный угол, угол между прямыми и др.
Профиматика - Владислав Вуль 06. Профиматика - Владислав Вуль 30. Можно ли заботать всю стереометрию за 4 часа? Профиматика - Игорь Уколов, Владислав Вуль 17. Задание 3.
Если две прямые на плоскости перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны. Если две прямые в трехмерном пространстве перпендикулярны к одной плоскости, то они параллельны. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Формулы для ЕГЭ по математике профиль
Формулы и методы для задачи №13 (стереометрия). При решении геометрических задач гиа и егэ по математике, например, № 4, 7, необходимо знать следующие формулы для нахождения площадей фигур. Формулы и методы для задачи №13 (стереометрия).
Все формулы по стереометрии для егэ таблица профиль
Градусная мера этого угла и есть градусная мера угла между плоскостями. Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, - на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете. Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ? Потому что это расширяет кругозор. Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира.
В них нет ничего сложного, если разобраться с базовыми формулами по нахождению объёма и площади поверхности. Я репетитор и занимаюсь частными индивидуальными занятиями с учениками, чтобы заниматься со мной пиши? Задачи из первой части может решить каждый, а я буду максимально тебе в этом помогать!
Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ? Потому что это расширяет кругозор. Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир. Потому что это развивает интеллект. Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы. Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.
Диагональная плоскость — плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания. Другое определение: диагональная плоскость — плоскость, проходящая через два боковых ребра призмы, не принадлежащих одной грани. Диагональное сечение — пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе, иногда, его частные случаи — ромб, прямоугольник, квадрат. На чертеже это, например, EBLP. Перпендикулярное ортогональное сечение — пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому ребру. Свойства и формулы для призмы: Основания призмы являются равными многоугольниками. Боковые грани призмы являются параллелограммами. Боковые ребра призмы параллельны и равны. Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания: где: S осн — площадь основания на чертеже это, например, ABCDE , h — высота на чертеже это MN. Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания: Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы на чертеже ниже перпендикулярное сечение это A 2 B 2 C 2 D 2 E 2. Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах. Перпендикулярное ортогональное сечение перпендикулярно ко всем боковым граням. Объем наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на длину бокового ребра: где: S сеч — площадь перпендикулярного сечения, l — длина бокового ребра на чертеже ниже это, например, AA 1 или BB 1 и так далее. Площадь боковой поверхности произвольной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра: где: P сеч — периметр перпендикулярного сечения, l — длина бокового ребра. Виды призм в стереометрии: Если боковые ребра не перпендикулярны основанию, то такая призма называется наклонной изображены выше. Основания такой призмы, как обычно, расположены в параллельных плоскостях, боковые рёбра не перпендикулярны этим плоскостям, но параллельны между собой. Боковые грани — параллелограммы. В прямой призме боковые ребра являются высотами. Боковые грани прямой призмы - прямоугольники. А площадь и периметр основания равны соответственно площади и периметру перпендикулярного сечения у прямой призмы, вообще говоря, перпендикулярное сечение целиком является такой же фигурой, как и основания. Поэтому, площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на длину бокового ребра или, в данном случае, высоту призмы : где: P осн — периметр основания прямой призмы, l — длина бокового ребра, равная в прямой призме высоте h. Правильная призма — призма в основании которой лежит правильный многоугольник то есть такой, у которого все стороны и все углы равны между собой , а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. Примеры правильных призм: Свойства правильной призмы: Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками. Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками. Боковые ребра правильной призмы равны между собой. Правильная призма является прямой. Определение: Параллелепипед — это призма, основания которой параллелограммы. В этом определении ключевым словом является «призма». Таким образом, параллелепипед — это частный случай призмы, которая отличается от общего случая только тем, что в основании у нее не произвольный многоугольник, а именно параллелограмм. Поэтому все приведенные выше свойства, формулы и определения касающиеся призмы остаются актуальными и для параллелепипеда. Однако, можно выделить несколько дополнительных свойств характерных для параллелепипеда. Другие свойства и определения: Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противолежащими , а имеющие общее ребро — смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими. Отрезок, соединяющий противолежащие вершины, называется диагональю параллелепипеда. Параллелепипед имеет шесть граней и все они — параллелограммы. Противоположные грани параллелепипеда попарно равны и параллельны. У параллелепипеда четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке, и каждая из них делится этой точкой пополам. Если четыре боковые грани параллелепипеда — прямоугольники а основания — произвольные параллелограммы , то он называется прямым в этом случае, как и у прямой призмы, все боковые ребра перпендикулярны основаниям. Все свойства и формулы для прямой призмы актуальны для прямого параллелепипеда. Параллелепипед называется наклонным , если не все его боковые грани являются прямоугольниками. Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней — прямоугольники то есть кроме боковых граней еще и основания являются прямоугольниками , называется прямоугольным. Из общей формулы для объема призмы можно получить следующую формулу для объема прямоугольного параллелепипеда : Прямоугольный параллелепипед, все грани которого являются равными квадратами, называется кубом. Помимо прочего, куб является правильной четырехугольной призмой, и вообще правильным многогранником. Для куба справедливы все свойства прямоугольного параллелепипеда и свойства правильных призм, а также: Абсолютно все рёбра куба равны между собой. Диагональ куба d и длина его ребра a связаны соотношением: Из формулы для объема прямоугольного параллелепипеда можно получить следующую формулу для объема куба : Пирамида Определения: Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и так далее. На рисунке приведены примеры: четырёхугольная и шестиугольная пирамиды. Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды. На чертеже основание это BCDE. Грани, отличные от основания, называются боковыми. Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды именно вершиной всей пирамиды, а не просто вершиной, как все остальные вершины. На чертеже это A. Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми. Обозначая пирамиду, сначала называют ее вершину, а затем — вершины основания. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание. Длина этого перпендикуляра обозначается буквой H. На чертеже высота это AG. Обратите внимание: только в случае если пирамида является правильной четырехугольной пирамидой как на чертеже высота пирамиды попадает на диагональ основания. В остальных случаях это не так. В общем случае у произвольной пирамиды, точка пересечения высоты и основания может оказаться где угодно. Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. На чертеже это, например, AF. Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину пирамиды и диагональ основания. На чертеже это, например, ACE. Еще один стереометрический чертеж с обозначениями для лучшего запоминания на рисунке правильная треугольная пирамида : Если все боковые ребра SA , SB , SC , SD на чертеже ниже пирамиды равны, то: Около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр точка O. Иными словами, высота отрезок SO , опущенная из вершины такой пирамиды на основание ABCD , попадает в центр описанной вокруг основания окружности, то есть в точку пересечения посерединных перпендикуляров основания. Важно: Также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны. Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом углы DMN , DKN , DLN на чертеже ниже равны , то: В основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр точка N. Иными словами, высота отрезок DN , опущенная из вершины такой пирамиды на основание, попадает в центр вписанной в основание окружности, то есть в точку пересечения биссектрис основания. Высоты боковых граней апофемы равны. Площадь боковой поверхности такой пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани апофему. Важно: Также верно и обратное, то есть если в основание пирамиды можно вписать окружность, причем вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом и высоты боковых граней апофемы равны. Правильная пирамида Определение: Пирамида называется правильной , если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами: Все боковые ребра правильной пирамиды равны. Все боковые грани правильной пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом. Важное замечание: Как видим правильные пирамиды являются одними из тех пирамид к которым относятся свойства, изложенные чуть выше. Действительно, если основание правильной пирамиды — это правильный многоугольник, то центр его вписанной и описанной окружностей совпадают, а вершина правильной пирамиды проецируется именно в этот центр по определению. Однако важно понимать, что не только правильные пирамиды могут обладать свойствами, о которых говорилось выше. В правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. В любую правильную пирамиду можно как вписать сферу, так и описать около неё сферу. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. Формулы для объема и площади пирамиды Теорема об объеме пирамид, имеющих равные высоты и равные площади оснований. Две пирамиды, имеющие равные высоты и равные площади оснований, имеют равные объемы Вы конечно, наверняка уже знаете формулу для объема пирамиды, ну или видите ее несколькими строчками ниже, и Вам кажется это утверждение очевидным, но на самом деле, если судить «на глаз», то данная теорема не так уж и очевидна см. Это относится кстати и к другим многогранникам и геометрическим фигурам: их внешний вид обманчив, поэтому, действительно — в математике нужно доверять только формулам и правильным расчетам. Объём пирамиды может быть вычислен по формуле: где: S осн — площадь основания пирамиды, h — высота пирамиды. Боковая поверхность пирамиды равна сумме площадей боковых граней. Для площади боковой поверхности пирамиды можно формально записать такую стереометрическую формулу: где: S бок — площадь боковой поверхности, S 1 , S 2 , S 3 — площади боковых граней. Полная поверхность пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания: Определения: — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника, иными словами, треугольная пирамида. Для тетраэдра любая из его граней может служить основанием. Всего у тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Тетраэдр называется правильным , если все его грани — равносторонние треугольники. У правильного тетраэдра: Все ребра правильного тетраэдра равны между собой. Все грани правильного тетраэдра равны между собой. Периметры, площади, высоты и все остальные элементы всех граней соответственно равны между собой. Из общих формул для объема и площадей пирамиды, а также знаний из планиметрии не сложно получить формулы для объема и площадей правильного тетраэдра а — длина ребра : Определение: При решении задач по стереометрии, пирамида называется прямоугольной , если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В таком случае, это ребро и является высотой пирамиды. Ниже примеры треугольной и пятиугольной прямоугольных пирамид. На рисунке слева SA — ребро, являющееся одновременно высотой. Усечённая пирамида Определения и свойства: Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию. Фигура, полученная на пересечении секущей плоскости и исходной пирамиды, также называется основанием усеченной пирамиды. Боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями. На чертеже это, например, AA 1 B 1 B. Боковыми ребрами усеченной пирамиды называются части ребер исходной пирамиды, заключенные между основаниями. На чертеже это, например, AA 1. Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр или длина этого перпендикуляра , проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания к плоскости другого основания. Усеченная пирамида называется правильной , если она является многогранником, который отсекается плоскостью, параллельной основанию правильной пирамиды. Основания правильной усеченной пирамиды — правильные многоугольники. Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равнобедренные трапеции.