Обозначение букв в математике.
Другие вопросы:
- Что значит v в математике? - Есть ответ!
- Что значит буква V в математике и как ее используют?
- Обозначения для линейной алгебры — Блог optozorax'а
- Что означает знак v в математике? Перевернутая и наклонная буква v в математике.
- Частота и вероятность
что значит v в математике
Интересный факт Золотое сечение Ф — наилучшее отношение частей и целого, при котором отношения частей между собой и каждой части к целому равны. Это математическое соотношение широко распространено в природе и часто используется в науке и искусстве. Скоро выйдет интересная статья о золотом сечении, обязательно посмотрите и прочитайте. Подписывайся, чтобы не пропустить.
Примеры использования "В" Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы проиллюстрировать использование буквы "В": 5В - это сокращение от 5 миллиардов. Заключение Теперь, когда мы знаем, что буква "В" после цифры обозначает миллиарды, мы можем избежать путаницы и правильно интерпретировать финансовые и статистические данные. Знание таких сокращений особенно полезно при работе с международными документами и отчетами.
Целой частью числа [х] числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х. Функцию [х] называют также «антье от х».
Символ функции «целая часть» ввёл Карл Гаусс в 1808 году. Некоторые математики предпочитают использовать вместо него обозначение E x , предложенное в 1798 году Лежандром. Угол параллельности. Лобачевский 1835. На плоскости Лобачевского — угол между прямой b, проходящей через точку О параллельно прямой a, не содержащей точку О, и перпендикуляром из О на a. Неизвестные или переменные величины. Декарт 1637. В математике переменная — это величина, характеризующаяся множеством значений, которое она может принимать. При этом может иметься в виду как реальная физическая величина, временно рассматриваемая в отрыве от своего физического контекста, так и некая абстрактная величина, не имеющая никаких аналогов в реальном мире.
Понятие переменной возникло в XVII в. Это понятие требовало для своего выражения новых форм. Такими новыми формами и явились буквенная алгебра и аналитическая геометрия Рене Декарта. Впервые прямоугольную систему координат и обозначения х, у ввел Рене Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости. Коши 1853. С самого начала вектор понимается как объект, имеющий величину, направление и необязательно точку приложения. Зачатки векторного исчисления появились вместе с геометрической моделью комплексных чисел у Гаусса 1831.
Развитые операции с векторами опубликовал Гамильтон как часть своего кватернионного исчисления вектор образовывали мнимые компоненты кватерниона. Гамильтон предложил сам термин вектор от латинского слова vector, несущий и описал некоторые операции векторного анализа. Этот формализм использовал Максвелл в своих трудах по электромагнетизму, тем самым обратив внимание учёных на новое исчисление. Вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса 1880-е годы , а затем Хевисайд 1903 придал векторному анализу современный вид. Сам знак вектора ввёл в использование французский математик Огюстен Луи Коши в 1853 году. Сложение, вычитание. Видман 1489. Знаки плюса и минуса придумали, по-видимому, в немецкой математической школе «коссистов» то есть алгебраистов. Они используются в учебнике Яна Йоханнеса Видмана «Быстрый и приятный счёт для всех торговцев», изданном в 1489 году.
До этого сложение обозначалось буквой p от латинского plus «больше» или латинским словом et союз «и» , а вычитание — буквой m от латинского minus «менее, меньше». У Видмана символ плюса заменяет не только сложение, но и союз «и». Происхождение этих символов неясно, но, скорее всего, они ранее использовались в торговом деле как признаки прибыли и убытка. Оба символа вскоре получили общее распространение в Европе — за исключением Италии, которая ещё около века использовала старые обозначения. Оутред 1631 , Г. Лейбниц 1698. Знак умножения в виде косого крестика ввёл в 1631 году англичанин Уильям Оутред. До него использовали чаще всего букву M, хотя предлагались и другие обозначения: символ прямоугольника французский математик Эригон, 1634 , звёздочка швейцарский математик Иоганн Ран, 1659. Позднее Готфрид Вильгельм Лейбниц заменил крестик на точку конец XVII века , чтобы не путать его с буквой x; до него такая символика встречалась у немецкого астронома и математика Региомонтана XV век и английского учёного Томаса Хэрриота 1560 —1621.
Ран 1659 , Г. Лейбниц 1684. Двоеточием деление стал обозначать Готфрид Лейбниц. До них часто использовали также букву D. Начиная с Фибоначчи, используется также горизонтальная черта дроби, употреблявшаяся ещё у Герона, Диофанта и в арабских сочинениях. Попытка Американского национального комитета по математическим стандартам National Committee on Mathematical Requirements вывести обелюс из практики 1923 оказалась безрезультатной. Сотая доля целого, принимаемого за единицу. Само слово «процент» происходит от латинского «pro centum», что означает в переводе «на сто». В 1685 году в Париже была издана книга «Руководство по коммерческой арифметике» Матье де ла Порта.
В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали «cto» сокращённо от cento. Так из-за опечатки этот знак вошёл в обиход. Декарт 1637 , И. Ньютон 1676. Современная запись показателя степени введена Рене Декартом в его «Геометрии» 1637 , правда, только для натуральных степеней с показателями больших 2. Позднее, Исаак Ньютон распространил эту форму записи на отрицательные и дробные показатели 1676 , трактовку которых к этому времени уже предложили: фламандский математик и инженер Симон Стевин, английский математик Джон Валлис и французский математик Альбер Жирар. Рудольф 1525 , Р. Декарт 1637 , А. Жирар 1629.
Арифметический корень 3-й степени называется кубическим корнем. Средневековые математики например, Кардано обозначали квадратный корень символом Rx от латинского Radix, корень. Современное обозначение впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф, из школы коссистов, в 1525 году. Происходит этот символ от стилизованной первой буквы того же слова radix. Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт 1637 для иной цели вместо скобок , и эта черта вскоре слилась со знаком корня. Кубический корень в XVI веке обозначался следующим образом: Rx. Radix universalis cubica. Привычное нам обозначение корня произвольной степени начал использовать Альбер Жирар 1629. Закрепился этот формат благодаря Исааку Ньютону и Готфриду Лейбницу.
Векторы широко применяются в физике, геометрии и других областях математики. Объем: Буква V также используется для обозначения объема в геометрии и физике. Объем — это мера трехмерного пространства, занимаемого объектом. Например, обозначение V может использоваться для обозначения объема прямоугольного параллелепипеда или цилиндра. Множество: В математике буква V может использоваться для обозначения множества.
Множество — это совокупность элементов, объединенных некоторым общим свойством. Обычно множества обозначаются буквами верхнего регистра, и буква V может быть выбрана для обозначения определенного множества. Скорость: В физике и математике буква V иногда используется для обозначения скорости.
Для чего буквы в алгебре?
Что обозначает буква v в математике Буква v в математике может обозначать как вектор, так и переменную. Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Буква в обозначает умножить.
Числовые множества
| Математические обозначения знаки, буквы и сокращения | Обозначение букв в математике. |
| Значение буквы «в» в математике: расшифровка и применение | Другим важным знаком в математике является знак плюс (+), который обозначает сложение двух или большего количества чисел. |
| Знаки и символы математики | То есть это значит, что есть различные устаревшие греческие буквы, оставшиеся в системе счисления — как коппа для обозначения числа 90 и сампи для обозначения числа 900. |
Что обозначает буква В в электрике: объяснение и расшифровка
Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Что обозначают в математике буквы S;V;t. 39 просмотров. Часто используемые знаки и символы математики основные буквы Δ Σ Ψ Ω α β γ δ ε η θ λ μ ν ξ π ρ σ τ υ φ χ ψ ω A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z основные символы × знак умножения ⋅ умножение 'точка' ⊗ векторное произведение. В математике повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся математических обозначений.
Что обозначает буква в в задаче
миллионы, непонятной может показаться именно буква "В" рядом с числами. С ходу, V — всего лишь одна буква в абетке, но в мире математики она означает гораздо больше. Пользователь Nusha задал вопрос в категории Воспитание детей и получил на него 10 ответов. Статья находится на проверке у методистов Skysmart. В таком случае буквы обычно называют коэффициентами и часто в алгебре обозначают буквами a, b, c. В математике перевернутая буква v обычно используется для обозначения переменных и функций.
Как легко понять знаки Σ и П с помощью программирования
Напряжение представляет собой разницу потенциалов между двумя точками в электрической цепи и измеряется в вольтах В. Вольт В — это единица измерения напряжения в системе СИ. Она названа в честь итальянского физика Алессандро Вольты, который сделал значимые открытия в области электричества в середине XIX века. Уровень напряжения в электрической цепи может быть постоянным постоянное напряжение или переменным переменное напряжение. Постоянное напряжение например, в батарейке имеет фиксированную величину, а переменное напряжение например, в электрической розетке меняется со временем.
Для измерения напряжения используются специальные приборы, называемые вольтметры. Они обычно имеют электроизоляционные материалы, чтобы предотвратить короткое замыкание и гарантировать безопасность при измерении высокого уровня напряжения. Связь с мощностью и силой тока Также буква В используется для обозначения вольта В — единицы измерения электрического напряжения и потенциала. Вольтметр предназначен для измерения напряжения в электрической цепи.
Следовательно, если последним действием является умножение, то выражение называют «произведением», если деление- «частным». Умение составлять математические выражения и находить их значение используют при решении как простых, так и составных задач. Рассмотрим пример решения составной задачи и выясним особенности процесса составления числовых выражений. Известно, что любая составная задача содержит несколько простых. Существуют различные способы оформления решения текстовых задач. Чаще всего используют такие формы записи решения задач: 1. По действиям с пояснениями.
При решении составных задач важно выделить главное, сделать краткую запись, разделить задачу на простые, составить план решения. Задача 1. В первый день собрали 12 кг клубники, а во второй день на 2 кг больше. Сколько килограммов клубники собрали за эти два дня? Эта информация доступна зарегистрированным пользователям Решение: В I день - 12 кг клубники. Во II день - на 2 кг больше, чем в I день. Общее количество клубники в I и во II день-?
Изобразим к задаче рисунок в виде схемы. Эта информация доступна зарегистрированным пользователям Чтобы определить, сколько собрали клубники за два дня, необходимо знать, какое количество клубники было собрано в первый и во второй день. Из условия задачи известно количество клубники, собранной в первый день. Неизвестно количество клубники, собранной во второй день.
Это всё чушь, конечно. Если вы плохо знаете математику, вы можете быть блестящим разработчиком. Вы вряд ли напишете драйверы для видеокарты, но вы запросто сделаете мобильное приложение или веб-сервис.
А это — основные деньги в этой среде. Но всё же, чтобы получить некоторое интеллектуальное превосходство, вот вам пара примеров из страшного мира математики. Пусть они покажут вам, что не все закорючки в математике — это ад и ужас.
В физике буква используется для обозначения объёма и вольта. Иногда символом V обозначают стрелку или направление вниз. Что означает буква А в математике? Что означает символ U?
U — рекомендованный символ для обозначения электрического напряжения. Что означает буква V физике? А также: A - работа; В - магнитная индукция; С - электроемкость конденсатора; D - оптическая сила; Е - напряженность электрического поля, энергия в электростатике W ; F - сила, фокусное расстояние линзы, постоянная Фарадея; K - Кельвин, кинетическая энергия: G - гравитационная постоянная; H - высота, напряженность... Что означает буква V в круге? Перечеркнутый круг — химчистка запрещена. Английская буква W в кружочке допускает обычную влажную химчистку без ограничений. Буква W в кружке, подчеркнутом одной линией говорит о деликатной влажной химчистке со сниженным механическим воздействием.
Что обозначает b в цифрах
Буква V в математике применяется для обозначения различных математических объектов и концепций. Вот некоторые из наиболее распространенных их значений: 1. Вектор: В математике буква V используется для обозначения вектора. Вектор — это направленный сегмент, имеющий длину и направление. Обычно вектор обозначается как V с надстрочным стрелкой. Векторы широко применяются в физике, геометрии и других областях математики. Объем: Буква V также используется для обозначения объема в геометрии и физике. Объем — это мера трехмерного пространства, занимаемого объектом.
В этом случае из суммы двух событий нужно просто вычесть их произведение. Допустим, у нас есть набор чисел от 1 до 10 и мы хотим найти вероятность того, что выбранное число будет или нечётным, или делиться на 7 без остатка.
Считаем вероятности: Событие A — число нечётное. Событие B — число делится на 7 без остатка. Так как число 7 удовлетворяет обоим условиям, мы имеем дело с совместимыми событиями — то есть они могут происходить одновременно. Подключаем формулу: сначала находим сумму вероятностей, а потом вычитаем из неё вероятность пересечения. Внимание на экран: Изображение: Skillbox Media Вуаля! На этом с алгеброй событий закончим и перейдём к более классическим формулам. Но не пугайтесь, мы всё подробно объясним. Ещё несколько формул теории вероятностей Для начала — универсальная формула. Выглядит она так: Изображение: Skillbox Media Разберёмся, что значат все эти буквы: Функция P вычисляет вероятность того, что произойдёт событие, которое нас устраивает A ; m обозначает общее число возможных событий; n — число благоприятных исходов.
Например, попробуем вычислить по этой формуле вероятность выпадения решки: Изображение: Skillbox Media Всё в порядке, формула работает. Давайте усложним задачу: посчитаем вероятность того, что решка выпадет три раза. Для этого нужно разбить событие на несколько уникальных — например, выпадение решки при первом, втором и третьем бросках. Обозначим эти события как B, C и D. Изображение: Skillbox Media Так как эти события зависимы друг от друга, нам нужно их перемножить — для этого подставляем в нашу формулу числа: Изображение: Skillbox Media Всё верно — вероятность посчитали правильно. Из этой формулы можно сделать несколько выводов: Если вероятность равна единице — значит, она достоверная. Смысл в том, что из общего числа событий нам подходят все — то есть событие точно произойдёт. Если вероятность равна нулю — значит, она невозможная. Всё из-за того, что нам не подходит ни одно из имеющихся событий.
Если вероятность находится в диапазоне от нуля до единицы — она случайная. Это значит, что общее число результатов больше нуля, но не все из них нам подходят. Теперь вы знаете достаточно, чтобы решать простые задачи по теории вероятностей, чем мы и займёмся в следующем разделе. Решаем задачи по теории вероятностей При решении задач используйте главную формулу теории вероятностей, а также формулы сложения и произведения вероятности событий. Задача 1.
Такая нотация позволяет с легкостью определить начало и конец вектора и однозначно указать его направление. Векторы являются основным инструментом векторной алгебры и имеют широкое применение в различных областях математики и физики. Они могут быть использованы для моделирования движения тел, решения уравнений, описания физических процессов и многого другого. Пример: Пусть имеется вектор скорости движения автомобиля. Буква V может быть использована для обозначения этого вектора, а стрелка сверху указывает направление движения. Символизация векторов с помощью буквы V является удобным и эффективным способом представления векторных величин, который широко используется в математическом и физическом анализе.
Объем: Буква V также используется для обозначения объема. Скорость: Буква V может использоваться в физике для обозначения скорости. Другие области математики: Также встречается в топологии, когда она используется для «отверстия» или «полости», в матричных вычислениях и теоретической физике. В общем случае, использование буквы V в математике зависит от контекста и области, где она применяется. Значение буквы V В математике буква V используется для обозначения различных понятий. Одно из наиболее известных — это число пять в римской системе исчисления, где она обозначает 5. Также буква V используется для обозначения объема в геометрии и физике. Например, объем геометрической фигуры можно вычислить через формулу, в которой фигура разбивается на части, каждая из которых имеет форму прямоугольной призмы с одинаковыми основаниями. В этой формуле V обозначает объем. Применение буквы V можно также увидеть в математической статистике. В этой области наиболее часто используется так называемое распределение Хи-квадрат, которое в свою очередь определяется через распределение Гамма, где одним из параметров является буква V, обозначающая степени свободы.
Что такое предлог на в математике?
- В что обозначает эта буква в математике: определение и примеры
- 1. Объем (Volume)
- Сравнение. Знаки , = и ≠
- Что значит буква "В", стоящая после цифры?
- Произведение П
- Что в математике значит знак v в -
Примеры использования "В"
- Виды математических выражений
- Правила обозначения действий в математических формулах. Сложение, вычитание, умножение и деление...
- Знак в математике: основание и роль
- Что обозначает b в цифрах
- Значение символа сигма в математике
- Обозначения для линейной алгебры — Блог optozorax'а
Список математических символов - List of mathematical symbols
Сегодня мы будем говорить о буквенных выражениях, как найти значение буквенного выражения. стрелка обозначает направление от А к В, Математические знаки. Впервые обозначением этого числа греческой буквой π воспользовался британский математик Уильям Джонс в книге «Новое введение в математику», а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера. Еще одной важной буквой в математике является буква «x», которая обозначает переменную или неизвестное значение.
Математика. 2 класс
Пример 2. Произведение крайних членов пропорции равно 40. Произведение средних членов пропорции равно 32. Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом. Примеры решения задач с пропорцией Чтобы потренироваться в составлении пропорций, решим вместе несколько задачек. Задачка 1.
Переменная — это значение буквы в буквенном выражении. Основная и дополнительная литература по теме урока точные библиографические данные с указанием страниц : Математика. Учебник для общеобразовательных организаций. Моро, М. Бантова, Г. Бельтюкова и др. Рабочая тетрадь.
Следует понимать, что все три направления появлялись в различных сферах человеческого бытия, и это сильно повлияло на используемые в них обозначения. Арифметика, вероятно, возникла из нужд торговли, для таких вещей, как, к примеру, счёт денег, а затем арифметику подхватили астрология и астрономия. Геометрия, по всей видимости, возникла из землемерческих и подобных задач. А логика, как известно, родилась из попытки систематизировать аргументы, приведённые на естественном языке. Примечательно, кстати, что другая, очень старая область знаний, о которой я упомяну позднее — грамматика — по сути никогда не интегрировалась с математикой, по крайней мере до совсем недавнего времени. Итак, давайте поговорим о ранних традициях в обозначениях в математике. Во-первых, есть арифметика. И самая базовая вещь для арифметики — числа. Так какие обозначения использовались для чисел? Что ж, первое представление чисел, о котором доподлинно известно — высечки на костях, сделанные 25 тысяч лет назад. Это была унарная система: чтобы представить число 7, нужно было сделать 7 высечек, ну и так далее. Конечно, мы не можем точно знать, что именно это представление чисел было самым первым. Я имею ввиду, что мы могли и не найти свидетельств каких-то других, более ранних представлений чисел. Однако, если кто-то в те времена изобрёл какое-то необычное представление для чисел, и разместил их, к примеру, в наскальной живописи, то мы можем никогда и не узнать, что это было представление чисел — мы можем воспринимать это просто как какие-то фрагменты украшений. Таким образом, числа можно представлять в унарной форме. И такое впечатление, что эта идея возрождалась множество раз и в различных частях света. Но если посмотреть на то, что произошло помимо этого, то можно обнаружить довольно много различий. Это немного напоминает то, как различные виды конструкций для предложений, глаголов и прочее реализованы в различных естественных языках. И, фактически, один из самых важных вопросов относительно чисел, который, как я полагаю, будет всплывать ещё много раз — насколько сильным должно быть соответствие между обычным естественным языком и языком математики? Или вот вопрос: он связан с позиционной нотацией и повторным использованием цифр. Как можно заметить, в естественных языках обычно есть такие слова, как "десять", "сто", "тысяча", "миллион" и так далее. Однако в математике мы можем представить десять как "один нуль" 10 , сто как "один нуль нуль" 100 , тысячу как "один нуль нуль нуль" 1000 и так далее. Мы можем повторно использовать эту одну цифру и получать что-то новое, в зависимости от того, где в числе она будет появляться. Что ж, это сложная идея, и людям потребовались тысячи лет, чтобы её действительно принять и осознать. А их неспособность принять её ранее имела большие последствия в используемых ими обозначениях как для чисел, так и для других вещей. Как это часто бывает в истории, верные идеи появляются очень рано и долгое время остаются в забвении. Более пяти тысяч лет назад вавилоняне, и возможно даже до них ещё и шумеры разработали идею о позиционном представлении чисел. Их система счисления была шестидесятеричная, а не десятичная, как у нас. От них мы унаследовали представление секунд, минут и часов в существующей ныне форме. Но у них была идея использования одних и тех же цифр для обозначения множителей различных степеней шестидесяти. Вот пример их обозначений. Из этой картинки можно понять, почему археология столь трудна. Это очень маленький кусок обожжённой глины. Было найдено около полумиллиона подобных вавилонских табличек. И примерно одна из тысячи — то есть всего около 400 — содержат какие-то математические записи. Что, кстати, выше отношения математических текстов к обычным в современном интернете. Вообще, пока MathML не получил достаточного распространения, это является достаточно сложным вопросом. Но, в любом случае, маленькие обозначения на этой табличке выглядят слегка похожими на отпечатки лапок крошечных птиц. Но почти 50 лет назад в конце концов исследователи определили, что эта клинописная табличка времён Хаммурапи — около 1750 года до н. Что ж, эти вавилонские знания были утеряны для человечества почти на 3000 лет. И вместо этого использовались схемы, основанные на естественных языках, с отдельными символами для десяти, ста и так далее. Так, к примеру, у египтян для обозначения тысячи использовался символ цветка лотоса, для сотни тысяч — птица, ну и так далее. Каждая степень десяти для её обозначения имела отдельный символ. А затем появилась другая очень важная идея, до которой не додумались ни вавилоняне, ни египтяне. Она заключалась в обозначении чисел цифрами — то есть не обозначать число семь семью единицами чего-то, а лишь одним символом. Однако, у греков, возможно, как и у финикийцев ранее, эта идея уже была. Ну, на самом деле, она была несколько отличной. Она заключалась в том, чтобы обозначать последовательность чисел через последовательность букв в их алфавите. То есть альфе соответствовала единица, бете — двойка и так далее. Вот как выглядит список чисел в греческом обозначении [вы можете скачать Wolfram Language Package, позволяющий представить числа в различных древних нотациях здесь — прим. Думаю, именно так сисадмины из Академии Платона адаптировали бы свою версию Mathematica; их воображаемую -600-ю или около того версию Mathematica. С этой системой счисления сопряжено множество проблем. Например, есть серьёзная проблема управления версиями: даже если вы решаете удалить какие-то буквы из своего алфавита, то вы должны оставить их в числах, иначе все ваши ранее записанные числа будут некорректными. То есть это значит, что есть различные устаревшие греческие буквы, оставшиеся в системе счисления — как коппа для обозначения числа 90 и сампи для обозначения числа 900. Однако я включил их в набор символов для Mathematica, потому здесь прекрасно работает греческая форма записи чисел. Спустя некоторое время римляне разработали свою форму записи чисел, с которой мы хорошо знакомы. Пускай сейчас и не совсем ясно, что их цифры изначально задумывались как буквы, однако об этом следует помнить. Итак, давайте попробуем римскую форму записи чисел. Это тоже довольно неудобный способ записи, особенно для больших чисел. Тут есть несколько интересных моментов. К примеру, длина представляемого числа рекурсивно возрастает с размером числа. И в целом, подобное представление для больших чисел полно неприятных моментов. К примеру, когда Архимед писал свою работу о количестве песчинок, объём которых эквивалентен объёму вселенной Архимед оценил их количество в 1051, однако, полагаю, правильный ответ будет около 1090 , то он использовал обычные слова вместо обозначений, чтобы описать столь большое число. Но на самом деле есть более серьёзная понятийная проблема с идеей о представлении цифр как букв: становится трудно придумать представление символьных переменных — каких-то символьных объектов, за которыми стоят числа. Потому что любую букву, которую можно было бы использовать для этого символьного объекта, можно будет спутать с цифрой или фрагментом числа. Общая идея о символьном обозначении каких-то объектов через буквы известна довольно давно. Евклид, по сути, использовал эту идею в своих трудах по геометрии. К сожалению, не сохранилось оригиналов работ Евклида. Однако имеются на несколько сот лет более молодые версии его работ. Вот одна, написанная на греческом языке. И на этих геометрических фигурах можно увидеть точки, которые имеют символьное представление в виде греческих букв. И в описании теорем есть множество моментов, в которых точки, линии и углы имеют символьное представление в виде букв. Так что идея о символьном представлении каких-то объектов в виде букв берёт своё начало как минимум от Евклида. Однако эта идея могла появиться и раньше. Если бы я умел читать на вавилонском, я бы, вероятно, смог бы сказать вам точно. Вот вавилонская табличка, в которой представляется квадратный корень из двух, и которая использует вавилонские буквы для обозначений. Полагаю, обожжённая глина более долговечна, чем папирус, и получается, что мы знаем о том, что писали вавилоняне больше, чем о том, что писали люди вроде Евклида. Вообще, эта неспособность увидеть возможность вводить имена для числовых переменных есть интересный случай, когда языки или обозначения ограничивают наше мышление. Это то, что несомненно обсуждается в обычной лингвистике. В наиболее распространённой формулировке эта идея звучит как гипотеза Сепира-Уорфа гипотеза лингвистической относительности. Разумеется, для тех из нас, кто потратил некоторую часть своей жизни на разработку компьютерных языков, эта идея представляется очень важной. То есть я точно знаю, что если я буду думать на языке Mathematica, то многие концепции будут достаточно просты для моего понимания, и они будут совсем не такими простыми, если я буду думать на каком-то другом языке. Но, в любом случае, без переменных всё было бы гораздо сложнее. Например, как вы представите многочлен? Ну, Диофант — тот самый, что придумал диофантовы уравнения — сталкивался с проблемой представления многочленов в середине 2 века н. В итоге он пришёл к использованию определённых основанных на буквах имён для квадратов, кубов и прочего. Вот как это работало. По крайней мере сейчас нам показалось бы чрезвычайно трудным понять обозначения Диофанта для полиномов. Это пример не очень хороших обозначений. Полагаю, главная причина, помимо ограниченной расширяемости, состоит в том, что эти обозначения делают математические связи между полиномами неочевидными и не выделяют наиболее интересные нам моменты. Есть и другие схемы задания полиномов без переменных, как, например, китайская схема, которая включала создание двухмерного массива коэффициентов. Проблема здесь, опять-таки, в расширяемости. И эта проблема с основанными на графике обозначениями всплывает снова и снова: лист бумаги, папирус или что бы то ни было — они все ограничены двумя измерениями. Хорошо, так что насчёт буквенного обозначения переменных? Полагаю, что они могли бы появиться лишь после появления чего-то похожего на нашу современную нотацию. И она до определённого времени не появлялась. Были какие-то намёки в индо-арабских обозначениях в середине первого тысячелетия, однако установилось всё лишь к его концу. А на запад эта идея пришла лишь с работой Фибоначчи о вычислениях в 13 веке. Фибоначчи, разумеется, был тем самым, кто говорил о числах Фибоначчи применительно к задаче о кроликах, однако в действительности эти числа известны были уже более тысячи лет, и служили они для описания форм индийской поэзии. И я всегда находил случай с числами Фибоначчи удивительным и отрезвляющим эпизодом в истории математики: возникнув на заре западной математики, столь привычные и фундаментальные, они начали становиться популярными лишь в 80-е. В любом случае, также интересно заметить, что идея разбивки цифр в группы по три, чтобы сделать большие числа более читаемыми, имеется уже в книге Фибоначчи 1202 года, хотя я думаю, что он говорил об использовании скобок над числами, а не о разделяющих запятых. После Фибоначчи наше современное представление для чисел постепенно становится всё популярнее, и ко времени начала книгопечатания в 15 веке оно уже было универсальным, хотя ещё и оставались несколько чудных моментов. Но алгебраических переменных в полном их смысле тогда ещё не было. Они появились лишь после Виета в конце 16 века и обрели популярность лишь в 17 веке. То есть у Коперника и его современников их ещё не было. Как в основном и у Кеплера. Эти учёные для описания каких-то математических концепций использовали обычный текст, иногда структурированный как у Евклида. Кстати, даже несмотря на то, что математическая нотация в те времена была не очень хорошо проработана, системы символьных обозначений в алхимии, астрологии и музыке были довольно развиты. Так, к примеру, Кеплер в начале 17 века использовал нечто, похожее на современную музыкальную нотацию, объясняя свою «музыку сфер» для отношений планетарных орбит. Со времён Виета буквенные обозначения для переменных стали привычным делом. Обычно, кстати, он использовал гласные для неизвестных и согласные — для известных. Вот как Виет записывал многочлены в форме, которую он называл "zetetics", а сейчас мы бы это назвали просто символьной алгеброй: Можно увидеть, что он использует слова для обозначения операций, в основном так, чтобы их нельзя было спутать с переменными. Так как раньше представляли операции, в каком виде? Идея о том, что операции есть нечто, что можно в какой-то форме представить, добиралась до умов людей довольно долго. Вавилоняне обычно не использовали символы для операций — для сложения они просто записывали слагаемые друг за другом. И в целом они были предрасположены записывать всё в виде таблиц, так что им не требовалось как-то обозначать операции. У египтян были некоторые обозначения для операций: для сложения они использовали пару идущих вперёд ног, а для вычитания — идущих назад. А вот кое-что из 1579 года, что выглядит весьма современным, написанное в основном на английском, пока не начнёшь понимать, что те забавные загогулины — это не иксы, а специальные небуквенные символы, которые представляют различные степени для переменных. В первой половине 17 века произошла своего рода революция в математической нотации, после которой она практически обрела свой современный вид. Было создано современное обозначение квадратного корня, который ранее обозначался как Rx — это обозначение сейчас используется в медицинских рецептах. И в основном алгебраическая нотация приобрела свой современный вид. Уильям Отред был одним из тех людей, кто серьёзно занимался этим вопросом. Изобретение логарифмической линейки — одна из вещей, которая сделала его известным. На самом деле о нём практически ничего неизвестно. Он не был крупным математиком, однако сделал много полезного в области преподавания, с такими людьми, как Кристофер Рен и его учениками. Странно, что я ничего не слышал о нём в школе, особенно если учесть, что мы учились в одной и той же школе, только он на 400 лет ранее. Однако изобретение логарифмической линейки было недостаточным для того, чтобы увековечить своё имя в истории математики. Но, в любом случае, он серьёзно занимался нотацией. Он придумал обозначать умножение крестиком, и он продвинул идею о представлении алгебры посредством обозначений вместо слов — так, как это делал Виет. И, фактически, он изобрёл довольно много других обозначений, подобно тильде для таких предикатов, как IntegerQ. После Отреда и его сотоварищей эти обозначения быстро установились. Были и альтернативные обозначения, как изображения убывающей и растущей лун для обозначения арифметических операций — прекрасный пример плохого и нерасширяемого дизайна. Однако в основном использовались современные обозначения. Вот пример. Это фрагмент рукописи Ньютона Principia, из которой ясно, что он в основном использовал современные алгебраические обозначения. Думаю, именно Ньютон придумал использовать отрицательные степени вместо дробей для обратных величин и прочего. Principia содержит весьма мало обозначений, за исключением этих алгебраических вещей и представления разного материала в стиле Евклида. И в действительности Ньютон не особо интересовался обозначениями. Он даже хотел использовать точечные обозначения для своих флюксий. Чего не скажешь о Лейбнице. Лейбниц много внимания уделял вопросам нотации. В действительности, он считал, что правильные обозначения есть ключ ко многим человеческим вопросам. Он был своего рода дипломат-аналитик, курсирующий между различными странами, со всеми их различными языками, и т. У него была идея, что если создать некий универсальный логический язык, то тогда все люди смогли бы понимать друг друга и имели бы возможность объяснить всё что угодно. Были и другие люди, которые размышляли о подобном, преимущественно с позиции обычных естественных языков и логики. Один из примеров — довольно специфичный персонаж по имени Раймонд Лул, живший в 14 веке, который заявлял, что изобрёл некие логические колёса, дающие ответы на все вопросы мира. Но так или иначе, Лейбниц разработал те вещи, которые были интересны и с позиций математики. То, что он хотел сделать, должно было так или иначе объединить все виды обозначений в математике в некоторый точный естественный язык с подобным математике способом описания и решения различных проблем, или даже больше — объединить ещё и все используемые естественные языки. Ну, как и многие другие свои проекты, Лейбниц так и не воплотил это в жизнь. Однако он занимался самыми разными направлениями математики и серьёзно относился к разработке обозначений для них. Наиболее известные его обозначения были введены им в 1675 году. Для обозначения интегралов он использовал "omn. Но в пятницу 29 октября 1675 года он написал следующее. На этом фрагменте бумаги можно увидеть знак интеграла. Он задумывал его как вытянутую S. Несомненно, это и есть современное обозначение интеграла. Ну, между обозначениями интегралов тогда и сейчас почти нет никакой разницы. Затем в четверг 11 ноября того же года он обозначил дифференциал как "d". На самом деле, Лейбниц считал это обозначение не самым лучшим и планировал придумать ему какую-нибудь замену. Но, как мы все знаем, этого не произошло. Что ж, Лейбниц вёл переписку касательно обозначений с самыми разными людьми. Он видел себя кем-то вроде председателя комитета стандартов математических обозначений — так бы мы сказали сейчас. Он считал, что обозначения должны быть максимально краткими. К примеру, Лейбниц говорил: "Зачем использовать две точки для обозначения деления, когда можно использовать лишь одну? Некоторые из продвигаемых им идей так и не получили распространения. К примеру, используя буквы для обозначения переменных, он использовал астрономические знаки для обозначения выражений. Довольно интересная идея, на самом деле. Так он обозначал функции. Помимо этих моментов и некоторых исключений наподобие символа пересечения квадратов, который Лейбниц использовал для обозначения равенства, его обозначения практически неизменными дошли до наших дней. В 18 веке Эйлер активно пользовался обозначениями. Однако, по сути, он следовал по пути Лейбница. Полагаю, он был первым, кто всерьёз начал использовать греческие буквы наравне с латинскими для обозначения переменных.
Скалярным произведением и будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними: Вспомним, что в той же физике величины делятся на скалярные не имеющие направления, например, масса и векторные имеющие направление, например, сила, ускорение, скорость. В математике под вектором подразумевают направленный отрезок, а понятие скаляра хоть и не равно, но очень близко к понятию числа. Скалярное произведение показывает, насколько синхронизированы, скоординированы направления векторов. Так, чем больше угол между векторами, тем меньше согласованности, а значит, скалярное произведение будет уменьшаться с ростом угла: Скалярное произведение вектора на само себя равно квадрату его модуля: В данном случае значение скалярного произведения является наибольшим из возможных.